{\displaystyle \lambda \mapsto \gamma (\lambda )} La relativité générale ajouta à la relativité restreinte que la présence de matière pouvait déformer localement l’espace-temps lui-même (et non pas seulement les trajectoires), de telle manière que des trajectoires dites géodésiques — c'est-à-dire intuitivement de longueur minimale — à travers l’espace-temps ont des propriétés de courbure dans l’espace et le temps. Relativité restreinte et générale pour mathématiciens. D'après le Le Principe d'Equivalence introduit dans notre article précédent, la démarche à suivre est donc la suivante: Choisissons de nommer les coordonnées de la particule ξα en notation indicielle, i.e l'indice α parcourt les quatres valeurs 0,1,2 et 3 avec α0 la coordonnée temporelle et les trois autres composantes désignant les coordonnées spatiales. 4- Co u rbure. De manière équivalente, on peut définir une autre valeur, l'énergie de la courbe et chercher à la minimiser, ce qui aboutit aux mêmes équations pour une géodésique. RELATIVITE GENERALE et mécanique céleste. [1] Dans un espace-temps à quatre dimensions, il est d'usage de parler plutôt de quadri-accélération. Pour une métrique riemannienne générique, une minoration a été obtenue en 1981 en fonction de la topologie globale de l'espace des lacets[4]. La généralisation d'une ligne droite en espace-temps courbe est ce qu'on appelle une géodésique. 2- Relati v ité R estreinte. À l'origine, le terme géodésique vient de géodésie (du grec gaïa « terre » et daiein « partager, diviser »), la science de la mesure de la taille et d… g On observe qu'un vélo roulant sur une surface plane sans changer de direction suit une ligne droite. C'est...). Définition et Explications - Les mathématiques de la relativité générale se réfèrent à différentes structures et techniques mathématiques utilisées par la théorie de la relativité générale d'Albert Einstein. Cette relation exprime que la dérivée de la vitesse V dans le plan tangent le long de la trajectoire (dans la direction V elle-même) est nulle. Introduction aux équations d'Einstein. L'orbite de la Terre autour du Soleil est donc son chemin logique dans l'espace-temps à cause de la combinaison de son élan (interprété comme un effet centrifuge en physique galiléenne) et de la courbure de l'espace-temps à proximité de l'étoile (interprétée comme l'effet centripète en physique galiléenne). La Relativité Générale n’impose plus aucune limite sur les observateurs : quelles que soit leurs vitesses relatives, ils sont pris en compte. nécessaire]. La relativité restreinte a plusieurs conséquences surprenantes, car les concepts de temps et d’espaceabsolus sont abolis. 1 Il existe une infinité d'hélices circulaires passant par deux points A et B du cylindre de révolution non situés sur un même parallèle mais une seule courbe de longueur minimale joignant A et B (si le milieu de [AB] n'est pas sur l'axe de rotation). Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. 1- Intr o d u ction. γ Si le vélo se déplace sur une surface non plane mais que le cycliste ne tourne pas le guidon, le vélo suivra une géodésique. Cependant, en géométrie métrique, les géodésiques considérées sont presque toujours équipées d'une paramétrisation naturelle, ce qui se définit par le fait que v = 1 et. 7- C o s mologie Sean M. Carroll. La relativité restreinte, en reliant la matière à l'énergie, a permis d'appliquer le concept de géodésique à des éléments qui semblaient y échapper, comme la lumière. ... La géodésique que vous allez suivre au cours d’une chute libre … Dans un prochain article, nous dériverons l'équation des géodésiques à partir du Principe de moindre action. A l'origine, le terme géodésique vient de géodésie (du grec gaïa " terre " et daiein " partager, diviser "), la science(La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire Le Robert, « Ce que l'on sait pour l'avoir appris, ce...) de la mesure de la taille et de la forme de la Terre(La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. 10. 28 Relativité générale et astrophysique [MD] EXERCICE 1.12 Courbes auto-parallèles– Soit une variété pseudo-riemannienne munie d’un sys-tème de coordonnées {xμ} et dont la connexion est sans torsion. Au lieu d'avoir un obstacle matériel à contourner, il s'agit, par exemple, d'un champ de force modifiant la trajectoire. Voilà donc déduite l'équation des géodésiques avec par rapport à l'équation sans champ de gravité l'apparition d'un terme en Γ, nommé connexion affine ou Symbole de Christoffel et dont on verra par la suite qu'il est de la plus haute importance en Relativité Générale[4]. Ce n'est qu'une approximation de la réalité, la forme de la Terre étant proche de celle d'un ellipsoïde de révolution. Dans le référentiel (pseudo-)inertiel ainsi considéré, on sait que l'on doit en effet appliquer les équations de la relativité restreinte et donc comme souvent dans le contexte relativiste, le temps propre remplace le temps des coordonnées car le premier seul reste invariant par transformation de Lorentz[2]. Géodésique d'une surface en mathématique euclidienne. , ) On conclut que la vitesse se conserve le long des géodésiques, en accord avec leur absence d'accélération. Plus exactement, un corps plongé dans un champ gravitationnel, s'il n'est soumis à aucune force, se déplacera non plus le long d'une droite, mais d'une géodésique. Si on change cette notion de distance, les géodésiques de l'espace peuvent prendre une allure très différente. Une géodésique est une courbe tracée sur une surface dont la normale principale est normale à la surface[2]. qui transporte parallèlement son propre vecteur tangent. Les sondes Voyager ont, par exemple, suivi un itinéraire spatial courbé, comme sur l'image ci-contre, à chaque passage à proximité d'une planète. Cette convention fut baptisée convention de sommation d'Einstein. Par contre, une particule matérielle suffisament petite plongéedans un champ extérieur est sans influence sur le champ de gravitation crée par d'autres masses beaucoupplus importante ainsi que sur leur mouvement propre. Carroll@ theory. La Relativité Générale est une théorie géométrique : la gravitation y est décrite comme une déformation de l’espace-temps produite par les masses. De sorte que, en utilisant cette convention et en supprimant le signe somme on a: En calculant la dérivée de l'expression ci-dessus (puisque l'on cherche une dérivée au second ordre par rapport à tau), on obtient d'abord en appliquant la formule de la dérivée d'un produit de fonctions et ensuite en multipliant les deux membres de l'expression par (dxβ/dξα): Nous avons introduit une nouvelle notation, le symbole de Kronecker, qui est égal à 1 si ses deux indices sont égaux et 0 dans tous les autres cas; dans notre cas, il revient à dire qu'une dérivée partielle d'une composante selon une direction par rapport à tout autre direction qu'elle-même est nulle. On aboutira ainsi à l'équation des géodésiques, qui consistuent une sorte d'équivalent des lignes droites en mécanique classique. Comment ajouter mes sources ? , Par un point d'une surface, il existe une et une seule géodésique de tangente donnée. La définition de la géodésique dépendant donc du type d'« espace courbe », l'acception précédente n'y est plus vraie que localement dans le cas où cet espace dispose d'une métrique. À la fin du voyage, les passagers n'ont jamais ressenti d'accélération qui leur aurait fait changer de direction. uchicago. λ ) En 1905, A. Einstein (1879-1955) publie sa théorie de la relativité restreinte et, en 1916, celle de la relativité générale. L'utilisation d'une particule de masse très faible dans un champ de gravitation simplifie donc beaucoupl'étude des lois du mouvement. 2 ", Introduction à la contraction des longueurs, Introduction à la dilatation des durées et au facteur de Lorentz, Transformations de Lorentz II - Cinématique relativiste- Contraction des longeurs et dilatation des durées, Geodesic equation from the principle of least action, Décrire le mouvement dans un référentiel en chute libre, Opérer un changement de coordonnées en passant du référentiel en chute libre vers le référentiel terrestre du laboratoire, celui-ci étant alors vu comme accéléré vers le haut. E n relativité générale, le vecteur moment cinétique du gyroscope est transporté parallèlement le long de la géodésique correspondant à la trajectoire du satellite. γ Si l'anglais ne vous rebute pas trop, vous pouvez déjà en consulter la version non traduite : Geodesic equation from the principle of least action. Pourquoi la Lune tourne autour de la Terre ? Jacqueline Lelong-Ferrand et Jean-Marie Arnaudiès, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Géodésique&oldid=174970306, Article manquant de références depuis février 2016, Article manquant de références/Liste complète, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence. Par ailleurs, il a été démontré en 1993 que pour toute métrique sur la sphère bidimensionnelle, ce nombre est supérieur à un terme en L/log(L)[réf. Quel lien y a-t-il entre un entonnoir et un trou noir ? Annexe D des notes de cours Par contre, la trajectoire d'une fusée en route pour la Lune n'est pas une géodésique à cause de la force de poussée exercée quand son moteur est allumé. Une particule libre suit donc une géodésique. D'après eux, ils ont pris le chemin le plus court. Tournons-nous maintenant vers un autre concept important en relativité générale. Ces avancées en rupture avec les concepts de temps et d’espace en vigueur nous conduiront à nous interroger sur les conditions de leurs émergences. γ L'équation des géodésiques(extrait du manuscrit Les fondations de la Relativité Générale §9 1916). 1 … Qu'est-ce qu'une métrique ? RELATIVITE GENERALE POUR DEBUTANTS Michel Le Bellac Cours donn e aux Rencontres non lin eaires de Peyresq Mai 2004 R esum e. Ce cours a pour objectif d’exposer a un public non initi e les id ees de base de la relativit e g en erale. Du point de vue des passagers, la direction de l'avion est en permanence la même. Mais une géodésique ne correspond pas toujours à un chemin de longueur minimale. Cette vision intuitive se traduit par la définition mathématique suivante[1]: Soit un arc régulier, tracé sur une nappe régulière de l'espace, l'arc est une géodésique si sa courbure géodésique est constamment nulle. 4. l'on ait : Un espace métrique est dit géodésique si deux quelconques de ses points sont toujours reliés par au moins une géodésique. Les géodésiques possèdent les deux propriétés d'unicité suivantes[2]. En particulier, il n'y a pas d'accélération normale à la géodésique susceptible de l'incurver. Si on assimile la Terre à une sphère, les géodésiques sont des arcs de cercle aussi nommées « arcs de grand cercle », ou « orthodromies ». Plus précisément, une courbe paramétrique γ: I → M depuis l'intervalle unité I vers l'espace métrique M est une géodésique s'il existe une constante v ≥ 0 telle que, pour tout Dans la relativité générale, les corps soumis à la gravitation (on les appelle corps inertiels) suivent tout simplement une trajectoire dont les caractéristiques sont déterminées par la géométrie de l’espace. d’extension à la relativité générale échouera, elle montrera tout de même que la structure causale qu’elle propose est la même que celle de la relativité générale. est indépendant du temps λ, le hamiltonien se conserve le long des géodésiques. , On dit qu’ils parcourent une géodésique (voir le chapitre suivant). En particulier, le chemin le plus court ou un des plus courts chemins, s'il en existe plusieurs, entre deux points d'un espace pourvu d'une métrique est une géodésique. Ce que je comprends, c'est que la courbure de l'espace temps induite par la présence d'un corps d'une certaine masse courbe l'espace temps. J Par exemple, les géodésiques d'un cylindre de révolution sont les méridiens, les parallèles et les hélices circulaires[2]. Une ligne géodésique est une ligne qui possède, en tout point qui n'est pas un point d'inflexion, un plan osculateur normal à la surface en ce point[3]. Les géodésiques sont souvent rencontrées dans le cadre de l'étude de la géométrie riemannienne et, plus généralement, des géométries métriques. 8. ( 3- T e n seurs. {\displaystyle L(\lambda ,\gamma ,V)=g_{\gamma }(V,V)} Cours 10, 6 février 2020 [Sections 4.7, 4.8] Cours 11, 11 février 2020 [Sections 5.1] • De Newton à la relativité générale : - accélération le long d’une géodésique - lien entre potentiel gravitationnel et masse - tensorialisation : équations d’Einstein - une deuxième forme - rigidité de l’univers • Application à la propagation d’une onde • Ondes gravitationnelles • Constante cosmologique La géodesique désignait donc pour des géomètres le chemin le plus court … Analyse des équations d'onde non-linéaires. 5- R elativ i té générale 6- Sol u tion d e Schwarzschild et trous noirs. La métrique de Schwarzschild ... Lecture: Les tests de la relativité générale. De manière générale c'est la courbe de longueur minimale entre deux points sur une surface. Pour comprendre intuitivement ce que cela signifie, on peut imaginer un avion de ligne qui vole à altitude constante autour de la Terre de Paris à Pékin par le chemin le plus court. Ses variations étaient cependant perpendiculaires en tout point au plan tangent à la sphère terrestre puisqu'aucune variation tangentielle n'a lieu. la géodésique sont courbes exécution parallèle leur propre vecteur tangent , à savoir . Mais comment se soustraire alors au phénomène d'accélération? Un repère géodésique (système géodésique) est une façon de repérer un lieu proche de la surface terrestre (par exemple par la latitude et la longitude). En physique, la géodésique est une généralisation de cette application terrestre. où ∇ est la connexion de Levi-Civita sur M (équivalente à la dérivée covariante). Des phénomènes ne sont pas expliqués et il y a nécessité de trouver mieux. La transposition aux mathématiques fait de la géodésique la généralisation de la notion de « ligne droite » aux surfaces et, plus généralement, aux « espaces courbes ». Dans le cas d'une surface incluse dans l'espace de dimension 3, une géodésique parcourue à vitesse constante est une courbe telle que l'accélération du point mobile est perpendiculaire au plan tangent à la surface. Néanmoins, si on considère le référentiel centré sur la Terre, le vecteur décrivant la vitesse de l'avion a changé de direction au cours du temps pour suivre la forme de la planète. Il existe d'autres manière de caractériser une géodésique. t Une des questions concerne l'estimation asymptotique pour une variété riemannienne compacte (M,g) du nombre de géodésiques périodiques inférieures à une longueur donnée L. Ces géodésiques sont les points critiques de la fonctionnelle d'énergie définie sur l'espace des lacets de la variétés (avec par exemple une régularité de Sobolev). Enrico Fermi Institute and department of Physics. edu 2001 En géométrie, une géodésique est la généralisation d'une ligne droite sur une surface. Des exemples sont le chemin suivi par un rocher en chute libre, un satellite en orbite et la forme d'une orbite planétaire, qui sont tous décrits par des géodésiques de la théorie de la relativité générale. Le mouvement de la particule libre est alors donné comme l'amplitude de l'accélération[1] étant égale à zéro, avec cependant comme point d'attention que la dérivée ne s'effectue plus par rapport au temps, mais au temps propre de la particule. Il ne suppose aucun pr erequis : il contient les notions n ecessaires de relativit e restreinte et de Re : géodésique, relativité générale Merci pour la réponse rapide, oui mais c'est là mon problème, pourquoi avons nous un indice k alors que les indices du tenseur sont i et j … Le calcul de la « distance » dans cet … En supposant les coordonnées dans le nouveau référentiel terrestre de la forme xμ, on peut écrire: En effet, si l'on considère simplement la première coordonnée ξ0, on peut écrire ξ0 et la dérivée de ξ0 comme fonction des xμ de la façon suivante: On remarque que dans l'expression sommée, l'indice μ apparaît à la fois en haut et en bas. Cette modification du vecteur vitesse de l'avion de façon adaptée à la géométrie dans laquelle il se déplace correspond précisément à ce qu'on entend par transport parallèle. Une notion très voisine celle d'espace de longueur. [3] Attention ici à ne pas remplacer l'indice μ dans le membre de gauche car cet indice représente l'indice muet de sommation, qui peut porter n'importe quel nom et qui n'est en rien lié au μ du membre présent dans le membre de droite. Nous avons 81 invités et aucun membre en ligne, Einstein Relatively Easy - Copyright 2020, "Pas plus de cinq ou six semaines s'écoulèrent entre la conception de l'idée de la relativité restreinte et la rédaction de l'article correspondant. Nous avons démontré dans le chapitre consacré aux espaces courbes la formule qui donne l’équation des géodésiques. Elles tentent de généraliser la notion de ligne droite sur une surface plane. Notes de cours (format PDF). La relativité générale, en reliant le temps à un espace « courbe », a permis de lier la notion d'orbite et celle de géodésique. La théorie de la gravitation de Newton a atteint ses limites. [2] On se rappelle avoir à faire le même genre de substitution pour déduire l'Action relativiste, où le temps impropre avait été remplacé par le temps propre comme quantité infinitésimale à intégrer. V ) Bonjour, je m'intéresse en ce moment à la relativité générale et à ce que ça implique sur la compréhension de la gravitation et je bloque sur un point. À l'origine, le terme géodésique vient de géodésie (du grec gaïa « terre » et daiein « partager, diviser »), la science de la mesure de la taille et de la forme de la Terre. Les Γαγβ sont les symboles de Christoffel, qui dépendent directement du tenseur métrique g : ils représentent la déformation infinitésimale de l'espace par rapport à un espace plat. Or, ici, le hamiltonien est égal au Lagrangien, qui est, lui-même, égal au carré de la norme de la vitesse. t Dans la relativité générale, il est supposé que le mouvement d'inertie se produit le long de géodésiques de l'espace-temps et le type de temps vide tel que configuré par le leur temps. Or dans un espace courbe, le transport parallèle d'un vecteur le long d'une geodésique ne ramène pas le vecteur dans sa position initiale. t 9. λ En fait, à chaque fois qu'il y a un indice répété en haut et en bas dans une même expression, celui-ci apparaît toujours dans une somme. La recherche des géodésiques périodiques a motivé le développement de la géométrie riemannienne. {\displaystyle t\in I} À partir de cette définition et de l'expression des composantes de la connexion de Levi-Civita, on obtient l'équation des géodésiques : Les géodésiques sont donc, dans la variété, des courbes paramétriques répondant à cette équation différentielle. Le chemin le plus court entre un point A et un point B sur une sphère est donné par la plus petite portion du grand cercle passant par A et B. Si A et B sont aux antipodes (comme le pôle Nord et le pôle Sud), il existe une infinité de plus courts chemins. Il n'y a pas d'accélération latérale qui aurait fait dévier le point mobile de sa trajectoire. Selon Galiléeet Newton un corps en l'absence de force est au repos ou se dépla… Creusons un peu : Tmn est le flux de la m-ième composante du quadrivecteur impulsion à travers une surface de normale xn, d’où : (rappel : les lettres grecques comme m et n varient de 0 à 3 alors que les lettres latines telles que i ou nécessaire]. Si vous disposez d'ouvrages ou d'articles de référence ou si vous connaissez des sites web de qualité traitant du thème abordé ici, merci de compléter l'article en donnant les références utiles à sa vérifiabilité et en les liant à la section « Notes et références ». La géodésique désignait donc, pour des géomètres, le chemin le plus court entre deux points de l'espace (sous entendu géographique). Après quelques articles d'introduction à la Relativité Générale, notre but dans cet article est de rentrer dans le vif du sujet et de décrire le mouvement d'une particule libre dans une région soumise à la gravité. Intuitivement, on peut chercher à comprendre cette seconde formulation en imaginant, tendue entre deux points, une bande élastique. relativité générale, pensée en 1915, sont essentiellement des théories de l’espace-temps qui ont remplacé les concepts d’espace absolu et de temps absolu de Newton. Creusons un peu : T^{}_ ... Pour cela, il suffit de prendre un bout de géodésique de longueur fixée r, et de la déplacer autour d’un point pour constituer l’équivalent d’un cercle. Second aspect de la relativité générale : … On démontre que, sur une surface donnée, s'il existe une courbe de longueur minimale joignant deux points, cette courbe suit toujours une géodésique. Dans l'un de ses articles sur la relativité générale, au bout de quelques pages seulement, Einstein fut apparemment las d'écrire le signe somme et déclara derechef que, désormais, chaque fois qu'une expression comporterait un indice répété, il fallait supposer qu'une somme s'applique sur cet indice.
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